Die Präsentiation: grb.pdf (6.2 MB)
Quellen:
Zellen lassen sich mit einem normalen optischen Mikroskop schlecht untersuchen, weil sie im Vergleich zum umgebenden Medium, z.B. Wasser, kaum Helligkeitskontrast im durchlaufenden Licht verursachen. Da sie allerdings einen anderen Brechungsindex als das umgebende Medium besitzen, wird die Phase des durch die Zelle verlaufenden Lichts relativ zur Phase des Lichts, das an der Zelle vorbeigeht, verschoben.
Ein Phasenkontrastmikroskop nutzt diesen Umstand aus, um ein sehr kontrastreiches Bild zu erzeugen. Die Abbildung unten zeigt den Strahlengang im Mikroskop. Vor dem Präparat befindet sich eine Ringblende (Apertur), deren Bild zunächst exakt auf den Phasenring hinter der Probe (meist im Objektiv integriert) abgebildet wird. Befindet sich kein Präparat im Strahlengang, wird sämtliches Licht direkt durch den Phasenring verlaufen. Dieser verschiebt die Phase des Lichts.
Befindet sich nun ein Objekt im Strahlengang, z.B. eine Zelle, so bewirkt dieses aufgrund des unterschiedlichen Brechungsindex einerseits eine Phasenverschiebung des Lichts und andererseits eine Ablenkung, sodass es am Phasenring vorbeigeleitet und nicht erneut phasenverschoben wird. Licht, das außerhalb des Objekts läuft, wird weiterhin auf den Phasenring abgebildet und von diesem phasenverschoben.
Im Brennpunkt des Objektivs interferieren schließlich das Licht aus der Probe und das Licht aus dem Phasenring. Der Phasenring ist so angelegt, dass sein Licht möglichst stark mit Licht aus geeigneten Proben interferiert und ein kontrastreiches Bild erzeugt.
Hier wird die Methode vorgestellt, eine Linearkombination beliebiger Funktionen fj(x)∈R so auszuwählen, dass sie eine Menge von Punkten möglichst genau annähert (Fitfunktion).
Eine solche Lineare Regression eignet sich demzufolge insbesondere für Polynomregressionen. Verwendet wird die Gaußsche Methode, welche das mittlere Fehlerquadrat minimiert. Weiter unten befindet sich ein Beispiel.
Das Verfahren nennt sich übrigens Lineare Regression, weil es sich auf eine Linearkombination bezieht. Früher dachte ich immer, das bezöge sich nur auf lineare Fits, also Geraden. Stimmt aber nicht.
Zunächst einigen wir uns auf die zu verwendenden Größen und Indexkonventionen. Gegeben sind:
Die Punkte sollen nun möglichst genau durch die Gesamtfunktion F(x) beschrieben werden. Diese kann, je nach Bedürfnis, ein Polynom beliebigen Grades sein, oder eine Linearkombination anderer Funktionen.
Wir versuchen, die Koeffizienten aj so zu wählen, dass dies klappt. Der Trick liegt darin, die Standardabweichung σ zu minimieren.
Hierbei genügt es bereits, den Wert der Summe zu minimieren, denn die Wurzel und der konstante Faktor 1/n verändern die Extremaleigenschaften nicht.
Da der Wert der Summe ausschließlich über die Koeffizienten aj variiert wird, müssen die Ableitungen nach den Koeffizienten Null ergeben. Nur in diesem Fall liegt ein Extremum vor.
Führen wir innere und äußere Ableitung aus, so ergibt sich das folgende lineare Gleichungssystem:
Das sieht zwar ganz furchtbar aus, ist es aber gar nicht. Es handelt sich um m lineare Gleichungen (k=1…m), die nach den Unbekannten aj aufgelöst werden müssen. Dies geschieht ganz einfach mit Hilfe einer Erweiterten Koeffizientenmatrix. Diese hat
Unsere Matrix sieht für m=3 Funktionen konkret folgendermaßen aus:
Jedes Matrixelement besteht aus einer Summe über alle gegebenen Wertepaare (xi, yi). Mittels Gauß-Jordan-Verfahren bringen wir diese Matrix nun auf Diagonalform und erhalten die gesuchten Koeffizienten aj.
Wir wollen die Punkte
durch eine Funktion
beschreiben. Das heißt, wir haben diese drei Teilfunktionen:
Unsere Koeffizientenmatrix sieht deshalb folgendermaßen aus. Beim Berechnen des Sinus aufpassen: wir rechnen in Radianten, nicht in Grad!
Diese Matrix muss nun mittels Gauß-Jordan-Verfahren auf Diagonalform gebracht werden.
Damit haben wir die gesuchten Koeffizienten gefunden und können die Fitfunktion F(x) aufstellen.
Als graphische Darstellung sieht unser Ergebnis nun folgendermaßen aus. Ich gebe zu, dass es völlig sinnlos war, nur zwei Wertepaare zu fitten, und die Fitfunktion ist sicherlich auch nicht optimal. Das Beispiel zeigt dennoch, wie das Prinzip funktioniert.
Bitte schreibt mir, falls ihr Anregungen habt oder ich mich peinlicherweise verrechnet habe. Auch für mathematische Richtigstellungen bin ich dankbar.
Die Präsentiation: neutrinos.pdf (396 KB)
Quellen:
Die Bachelorarbeit habe ich vor ca. einem Monat abgegeben und scheinbar ist sie schon korrigiert. Im Online-Notenspiegel steht eine »1,5«, womit ich ausgesprochen zufrieden wäre, zumal in der Arbeit noch einiges an nicht ausgeschöpftem Potential steckt. Aber man muss ja auch auf die Zeit achten.
Wer mal schauen will, wie sie aussieht und wie das alles geTeXt wurde, kann den ganzen Kram hier laden:
ba.pdf (592 KB) oder
ba.zip (PDF, TeX, F90-Codes und Maple-Worksheets; 989 KB)
P.S.: Entschuldigt bitte die falschen Kapitälchen, ich konnte mal wieder nicht widerstehen! Echte Kapitälchen der Bitstream Charter sind für LaTeX in Arbeit und wenn die endlich zur Verfügung stehen, lade ich dann schließlich die final-Version hoch ;-)
Da Konstanten wirklich nicht meine Spezialität sind und ich sie mir sehr viel weniger gut merken kann als beispielsweise Ralf, gibt es hier ein kleines Tafelwerk, damit Pi nicht immer nur 3 ist.
| π | = 3.1415926535898 |
| e | = 2.718281828459 |
| c | = 299 792 458 m/s |
| g | = 9.80665 m/s2 |
| u | = 1.66053886⋅10-27 kg |
| NA | = 6.0221415⋅1023 mol-1 |
| kB | = 1.3806505⋅10-23 J/K |
| R | = 8.314472 J⋅mol-1⋅K-1 |
| G | = 6.67428⋅10-11 m3⋅kg-1⋅s-2 |
| e | = 1.60217653⋅10-19 C |
| μ0 | = 4π⋅10-7 N⋅A-2 |
| ε0 | = 8.854187817⋅10-12 As/Vm = F/m = A2⋅s4⋅kg-1⋅m-3 |
| F | = 96 485.3383 C/mol |
| b | = 2.8977685⋅10-3 m⋅K |
| σ | = 5.6704⋅10-8 W⋅m-2⋅K-4 |
| h | = 6.6260693⋅10-34 Js |
| ħ | = 1.05457168⋅10-34 Js = h/2π |
| R∞ | = 1.0973731568525⋅107 m-1 |
| R | = 3.289841960360⋅1015 Hz |
| Ry | = 13.6056923 eV |
| a0 | = 0.5291772108⋅10-10 m |
| μB | = 9.27400949⋅10-24 J/T |
| μN | = 5.05078343⋅10-27 J/T |
| re | = 2.817940325⋅10-15 m |
| α | = 7.297352568⋅10-3 ≈ 1/137 |
Sind ja gar nicht so viele :)